淺談數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

中文提要：數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的主要內(nèi)容之一。美國的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實踐中發(fā)展起來一種APOS理論，對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有所啟示。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的兩種主要教學(xué)模式：概念形成和概念同化的教學(xué)模式。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的四個步驟：概念的引入、概念的明確、概念的系統(tǒng)化、概念的運用。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；APOS理論；教學(xué)模式

一 數(shù)學(xué)概念的重要性

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識中最基本的內(nèi)容，反映著人們對現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的豐富和深刻的認識，一切數(shù)學(xué)思維都以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)，憑借數(shù)學(xué)概念來進行，所以數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有極重要的地位。
數(shù)學(xué)概念有抽象性和具體性雙重特點。數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，必須經(jīng)過具體——抽象——具體的認識過程，才能掌握數(shù)學(xué)概念。概念掌握的真正含義，首先在于領(lǐng)會概念反映的事物的本質(zhì)特征，還要在此基礎(chǔ)上弄清概念的內(nèi)涵和外延，并能將抽象的概念具體化而加以應(yīng)用。

二 數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)及APOS理論

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，是在己有的認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進行的。新概念的獲得，主要依賴認知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念，通過新舊概念之間發(fā)生聯(lián)系而完成。獲得新概念的最基本的形式有兩種：一是概念的形成，二是概念的同化。
概念形成的學(xué)習(xí)形式主要依靠對具體事物的抽象概括，概念同化的學(xué)習(xí)形式主要依靠學(xué)生對經(jīng)驗的概括和新舊知識的聯(lián)系。在教學(xué)中，教師要把兩種形式結(jié)合使用，采用何種形式要視所學(xué)的具體數(shù)學(xué)概念而定。一般來說，在低年級概念形成的形式用得較多，在高年級概念同化的形式用得較多。但總的說來，由于數(shù)學(xué)概念的抽象、邏輯性，致使概念同化的學(xué)習(xí)形式顯得更為重要?；蛘哒f，概念同化是學(xué)生獲得概念的最基本的方式。
一般情況下，學(xué)生獲取數(shù)學(xué)概念大致經(jīng)歷以下幾個階段：
1、觀察形成概念的材料，抽象、概括出共性；
2、將前一階段形成的認識結(jié)果用語詞表述，即給出新概念的定義，使對概念的認識進入形式化階段；
3、辨別概念的肯定例證和否定例證，進一步明確概念的內(nèi)涵，廓清概念的外延；
4、新概念與已有概念建立適當(dāng)?shù)穆?lián)系，形成比較完整的概念結(jié)構(gòu)體系。
近年來，美國的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實踐中發(fā)展起來一種APOS理論，對數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)有所啟示。杜賓斯基認為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程要經(jīng)歷以下四個階段的心理建構(gòu)（以函數(shù)概念為例）：
Action（活動）階段。理解函數(shù)需要活動或操作。例如對 ，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對應(yīng)： ； ； ； ；……通過操作活動，理解函數(shù)的意義。
Process（過程）階段。把上述的操作活動綜合為一個函數(shù)過程。一般地有 ；其他的各種函數(shù)也可以概括為一般的對應(yīng)過程 。
Object（對象）階段。然后可以把函數(shù)過程當(dāng)作一個獨立的對象來處理，比如函數(shù)的加減乘除、復(fù)合運算等。在表達式 中，函數(shù) 和 都是作為一個整體對象出現(xiàn)的。
Scheme（圖式）階段。此時的函數(shù)概念，以一種綜合的心理圖式存在于腦海里，在數(shù)學(xué)知識體系中占有特定的地位。這一心理圖式含有具體的函數(shù)實例性質(zhì)、抽象的過程、完整的定義，乃至和其他概念的區(qū)別和聯(lián)系（方程、曲線、圖像等等）。