不等式的解法


摘 要: 本文通過對不等式的研究和分析,對所學(xué)的知識歸納整理給出了解不等式的一些
運算簡便,操作靈活的方法,如零點定理解不等式,插值法解不等式,介質(zhì)定理與區(qū)間法解不
等式,構(gòu)造法解不等式,分類討論法解不等式,換元法解不等式,列表法解不等式,根軸法解不
等式.
關(guān)鍵詞: 不等式；解法； 數(shù)學(xué)教育
1 引言
不等式問題貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終,在數(shù)學(xué)這門 學(xué)科中占有非常重要的地位,在很多有難度的問題的解決過程中都需要借到不等式來完成.不等式與我們學(xué)習(xí)中的很多問題有密切的聯(lián)系,諸如集合問題,方程（組）的解的討論,函數(shù)定義域值域單調(diào)性的研究等等無一不與不等式有著密切的聯(lián)系,一個不等式有多個不同的解法,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒〞刮覀兊慕忸}簡潔明了,避免過程復(fù)雜煩瑣出現(xiàn)錯誤,還會給我們研究不等式和與不等式有關(guān)聯(lián)的知識提供很大的幫助.
2 解不等式的一些方法
2.1 零點定理法
零點定理：設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù)且 與 異號（即 ﹤0）,那么在區(qū)間 內(nèi)至少有 的一個零點,即至少有一點 ,（ ﹤ ﹤ ）,使 =0.
我們可得：
推論：設(shè)函數(shù) 在 上有定義，在其定義區(qū)間 上連續(xù)
(1) 若 在 上沒有零點，則 在 上恒正或恒負；
(2) 若 在 上的所有零點依次為 ,這 個零點把區(qū)間 分成若干個小區(qū)間，則在每個小區(qū)間上 恒正或恒負.
這個推論告訴我們，對于(2)（(1)是(2)的特殊情況）中的每個小區(qū)間內(nèi)的一切 值, 恒大于零或恒小于零，即 或 ,于是所有使 成立的小區(qū)間的并集即為不等式 的解集,使 成立的小區(qū)間的并集就是不等式 的解集.而判斷 在每個小區(qū)間上的符號只需求某一特殊點的值即可.由此,我們得出不等式 的一般步驟：
(1) 求出函數(shù) 的定義域的交集,即不等式 的定義域；
(2) 求出函數(shù) 的全部零點,這些零點把定義域分成若干個子區(qū)間；
(3) 在每個小區(qū)間內(nèi)分別取某一特定值,并取 在這些點的函數(shù)值；
(4)上述函數(shù)值大于零的點所在的子區(qū)間的并集即為 的解集.
例1.︱24 ︱ ︱18 ︱
解：此不等式定義域為（- ）.
令 ＝︱18 ︱-︱24 ︱＝0，
得 .
在［ ］，［ ］，［ ］，［ ］，（4， ）內(nèi)各取一點算得：

.
　所以，此不等式的解集為 [ .
零點定理的推論提供了一種解不等式的統(tǒng)一方法,它有廣泛的適用范圍.這種解法的特點是：一方面將“解不等式”轉(zhuǎn)化為“解等式”，另一方面，將不等式解集的探求歸結(jié)為尋求 的子區(qū)間,而這一點又是通過特殊點法實現(xiàn)的,這就避免了由于不等式等價變形的復(fù)雜性所引起的繁雜討論.所以,這種解不等式的方法比傳統(tǒng)的方法要簡潔方便且準確性高.
2.2 分類討論法
分類討論法主要是把不等式進行分類討論每一部分求出其解集.
例2.解關(guān)于 的不等式︱ ︱ .
解：(1)若 即 時解為 .
(2)若 即 時，則原不等式可化為 ①　或
②. (1)可等價變形為 或 ；
因此,當(dāng) 時，則 或 ，
當(dāng) 時則 或 .
由(2)可知當(dāng) 時，則 .
解之, .
當(dāng) 時， 無解.
(3)當(dāng) 時，即 ，則︱ ︱ 。所以 且 .
綜上所述可知原不等式的解集為：
當(dāng) 時， ︱ ；
當(dāng) 時， ︱ 且 ；
當(dāng) 時， ︱ 或 或 }；
當(dāng) , { ︱ 或 .
2.3 構(gòu)造法
2.3.1 構(gòu)造函數(shù)法
某些不等式，若結(jié)合其特點,構(gòu)造一個函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)來解,將會使解題簡捷明快.
例3.解不等式
解：構(gòu)造函數(shù) 其定義域為 ︱ ，
原不等式化為 .
當(dāng) 時， .
當(dāng) 時， （兩等號不能同時取到）.
所以，不等式的解集為{ │ }.