投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)問題

摘 要
本論文主要討論解決了在組合投資問題中的投資收益與風(fēng)險(xiǎn)的相關(guān)問題。分別在不考慮風(fēng)險(xiǎn)和考慮風(fēng)險(xiǎn)的情況下建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，來使得投資所獲得的總利潤(rùn)達(dá)到最大。
問題一是一個(gè)典型的線性規(guī)劃問題，我們首先建立單目標(biāo)的優(yōu)化模型，也即模型1，用Lingo軟件求解，得到在不考慮投資風(fēng)險(xiǎn)的情況下，20億的可用投資金額所獲得的最大利潤(rùn)為153254.4萬元。然后分別分析預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率、可用投資總資金和各投資項(xiàng)目的投資上限對(duì)總利潤(rùn)的影響。發(fā)現(xiàn)利潤(rùn)與利潤(rùn)率成正比的關(guān)系；可用投資總額有一個(gè)上限，當(dāng)投資額小于這個(gè)上限時(shí)，總利潤(rùn)與可用投資額成正比的關(guān)系，當(dāng)大于這個(gè)上限時(shí)，可用投資額與總的利潤(rùn)沒有關(guān)系，總利潤(rùn)率保持不變；各項(xiàng)目的投資上限均與目標(biāo)值呈正相關(guān)，項(xiàng)目預(yù)計(jì)到期利潤(rùn)率越大，該項(xiàng)目投資上限的變動(dòng)對(duì)目標(biāo)值的影響越大。
問題二是一個(gè)時(shí)間序列預(yù)測(cè)問題。分別在獨(dú)立投資與考慮項(xiàng)目間的相互影響投資的情況下來對(duì)到期利潤(rùn)率和風(fēng)險(xiǎn)損失率的預(yù)測(cè)。兩種情況下的預(yù)測(cè)思路與方法大致相同。
首先根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出到期利潤(rùn)率，將每一個(gè)項(xiàng)目的利潤(rùn)率看成一個(gè)時(shí)間序列，對(duì)該序列的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可以得到一個(gè)具有平穩(wěn)性、正態(tài)性和零均值的新時(shí)間序列。再計(jì)算該序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)，發(fā)現(xiàn)該時(shí)間序列具有自相關(guān)函數(shù)截尾，偏自相關(guān)函數(shù)拖尾的特點(diǎn)，所以可認(rèn)為該序列為一次滑動(dòng)平均模型（簡(jiǎn)稱MA(1)）。接著，用DPS數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)軟件中的一次滑動(dòng)平均模型依次預(yù)測(cè)出各項(xiàng)目未來五年的投資利潤(rùn)率。對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)損失率，我們用每組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差來衡量風(fēng)險(xiǎn)損失的大小，將預(yù)測(cè)出來的投資利潤(rùn)率加入到樣本數(shù)據(jù)序列中，算出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用該值來衡量未來五年的風(fēng)險(xiǎn)損失率。具體答案見4.2.2.1問題的分析與求解。同樣在考慮相互影響的情況下，我們運(yùn)用ARMA(3,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見4.2.2.2
問題三與問題一類似，也是優(yōu)化的問題，其目標(biāo)仍是第五年末的利潤(rùn)最大，而且也沒有考慮風(fēng)險(xiǎn)問題，只是約束條件改變了。我們建立非線性規(guī)劃模型，仍用Lingo解得大利潤(rùn)為620589.7萬元。


關(guān)鍵字：線性規(guī)劃　時(shí)間序列 ARMA模型
1問題的重述
隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，投資各個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行贏利，已是許多公司取得利潤(rùn)的的主要途徑。但是這樣的投資又存在著一定的風(fēng)險(xiǎn)。不是每一次投資都能百分之百獲得利潤(rùn)，
所以怎樣緩解與解決贏利與風(fēng)險(xiǎn)之間的矛盾，是每一個(gè)投資商及待解決的問題。本題就是要通過一個(gè)實(shí)例，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的眼光來看待及解決這個(gè)問題。
題目給定了20億作為未來5年的投資資金，而現(xiàn)在市場(chǎng)上給定的投資項(xiàng)目有8個(gè)：
項(xiàng)目1、項(xiàng)目2每年初投資，當(dāng)年年末回收本利（本金和利潤(rùn)）；項(xiàng)目3、項(xiàng)目4每年初投資，要到第二年末才可回收本利；項(xiàng)目5、項(xiàng)目6每年初投資，要到第三年末才可回收本利；項(xiàng)目7只能在第二年年初投資，到第五年末回收本利；項(xiàng)目8只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。
1） 第一問要解決的問題是建立一個(gè)優(yōu)化模型，在給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的前提下，如何安排20億的投資資金使第五年末的所的的利潤(rùn)達(dá)到最大。
2） 給定8個(gè)項(xiàng)目近20年的投資額與到期利潤(rùn)的數(shù)據(jù)，同時(shí)還知道投資的各個(gè)項(xiàng)目之間還會(huì)出現(xiàn)相互影響的問題。具體的數(shù)據(jù)由題目附錄給出?，F(xiàn)在要解決的問題是根據(jù)往年的數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)今后五年各項(xiàng)目獨(dú)立投資及項(xiàng)目之間相互影響下的投資的到期利潤(rùn)率、風(fēng)險(xiǎn)損失率。
3） 在問題2的基礎(chǔ)上，現(xiàn)有兩種情況：
a. 對(duì)投資項(xiàng)目1，公司管理層爭(zhēng)取到一筆資金捐贈(zèng)，若在項(xiàng)目1中投資超過20000萬，則同時(shí)可獲得該筆投資金額的1%的捐贈(zèng)，用于當(dāng)年對(duì)各項(xiàng)目的投資。
b. 項(xiàng)目5的投資額固定，為500萬，可重復(fù)投資。
(個(gè)項(xiàng)目的投資額上限見表4)
在這兩種情況下，且根據(jù)問題2的結(jié)果，確定5年內(nèi)如何安排20億，使得第五年末所得利潤(rùn)最大。
4） 另外由實(shí)際可知，當(dāng)投資越分散，也即投資的項(xiàng)目多，而且金額相對(duì)比較平均時(shí)，那么總的風(fēng)險(xiǎn)就越小?，F(xiàn)規(guī)定：當(dāng)用20億投資若干種項(xiàng)目時(shí)，總的風(fēng)險(xiǎn)用所投資的項(xiàng)目中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來度量。在這種情況下，應(yīng)該如何考慮風(fēng)險(xiǎn)問題？問題3中的投資又應(yīng)該如何安排？
5） 由于考慮風(fēng)險(xiǎn)問題，公司可以拿一部分資金存進(jìn)銀行，但是為了獲得更大的利潤(rùn)，公司可以在銀行貸款來投資，貸款的上限和利息可根據(jù)實(shí)際情況來確定。那么在這種情況下又應(yīng)該如何安排5年的投資計(jì)劃？