2007年高考數(shù)學試題分類匯編函數(shù)與導數(shù) ?重慶理?已知函數(shù)c
bxxaxxf???44ln)((x>0)在x = 1處取得極值c??3?其中a,b,c
為常數(shù)。
?1?試確定a,b的值?
?2?討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間?
?3?若對任意x>0?不等式22
)(cxf??恒成立?求c的取值范圍。
解??I?由題意知(1) 3
f c? ? ??因此3b c c? ? ? ??從而3b? ??
又對( )
f x求導得? ?
3434
1
ln4'bx
x
axxaxxf????3(4 ln 4 )x a x a b? ? ??
由題意(1) 0
f
?
??因此4 0a b? ??解得12a??
?II?由?I?知3( ) 48 ln
f x x x
?
??0x???令( ) 0f x
?
??解得1x??
當0 1
x? ?時?( ) 0f x
?
??此時( )f x為減函數(shù)?
當1
x?時?( ) 0f x
?
??此時( )f x為增函數(shù)?
因此( )
f x的單調(diào)遞減區(qū)間為(0 1)??而( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間為(1 )??∞?
?III?由?II?知?( )
f x在1x?處取得極小值(1) 3f c? ? ??此極小值也是最小值?要使2( ) 2f x c?≥?0x??恒成立?只需23 2c c? ? ?≥?
即22 3 0
c c? ?≥?從而(2 3)( 1) 0c c? ?≥?
解得
3
2
c≥或1
c?≤?
所以c的取值范圍為3
( 1]
2
? ?
?? ? ? ?
?
?
? ?
? ??
?浙江理?設(shè)3( )
3
x
f x??對任意實數(shù)t?記2
32
( )
3tg x t x t
? ??
?I?求函數(shù)( ) ( )ty f x g x
? ?的單調(diào)區(qū)間?
?II?求證??ⅰ?當0
x?時?( )f x g( ) ( )tf x g x≥對任意正實數(shù)t成立?
?ⅱ?有且僅有一個正實數(shù)0x?使得0 0( ) ( )x tg x g x
≥對任意正實數(shù)t成立?
本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)?導數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識?以及綜合運
用所學知識分析和解決問題的能力?滿分15分?
?I?解?316
4
3 3
x
y x? ? ??由24 0
y x
?
? ? ??得2x? ??
因為當( 2)
x? ?? ??時?y
?
?0?當( 2 2)x? ??時?0y
?
??當(2 )x? ? ??時?0y
?
??
故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( 2)
?? ???(2 )? ???單調(diào)遞減區(qū)間是( 2 2)???
?II?證明??i?方法一?令2
3
32
( ) ( ) ( ) ( 0)
3 3tx
h x f x g x t x t x? ? ? ? ? ??
則2
2
3( )
h x x t
?
? ??當0t?時?由( ) 0h x
?
??得1
3x t
??當1
3( )
x x? ? ??時?( ) 0h x
?
??
所以( )
h x在(0 )? ??內(nèi)的最小值是1
3( ) 0
h t??
故當0
x?時?( ) ( )tf x g x≥對任意正實數(shù)t成立?
方法二?
對任意固定的0
x??令2
32
( ) ( ) ( 0)
3th t g x t x t t
? ? ? ??則1 1
3 32
( ) ( )
3
h t t x t??
? ??
由( ) 0
h t
?
??得3t x??當30t x? ?時?( ) 0h t
?
??當3t x?時?( ) 0h t
?
??
所以當3t x
?時?( )h t取得最大值
3 31
( )
3
h x x??
因此當0
x?時?( ) ( )f x g x≥對任意正實數(shù)t成立?
?ii?方法一?8
(2) (2)
3tf g
? ??由?i?得?(2) (2)t tg g≥對任意正實數(shù)t成立?
即存在正實數(shù)02
x??使得(2) (2)x tg g≥對任意正實數(shù)t成立?
下面證明0x的唯一性?當02
x??00x??8t?時? 3
0
0( )
3
x
f x??0 016
( ) 4
3xg x x
? ??由?i?得?3
0
016
4
3 3
x
x? ??
再取3
0t x
??得3
03
0
0( )
3xx
g x??所以3
03
0
0 0 016
( ) 4 ( )
3 3x
xx
g x x g x? ? ? ??
即02
x?時?不滿足0 0( ) ( )x tg x g x≥對任意0t?都成立?
故有且僅有一個正實數(shù)02
x??使得0 0( )0 ( )x tg x g x≥對任意正實數(shù)t成立?
方法二?對任意00
x??0 016
( ) 4
3xg x x
? ??因為0( )tg x關(guān)于t的最大值是3
01
3
x?所以要
使0 0( ) ( )x tg x g x
≥對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是?
3
0 016 1
4
3 3
x x?≥?
即2
0 0( 2) ( 4) 0
x x? ?≤? ①又因為00x??不等式①成立的充分必要條件是02x??
所以有且僅有一個正實數(shù)02
x??使得0 0( ) ( )x tg x g x≥對任意正實數(shù)t成立? ?天津理?已知函數(shù)2
22 1
( ) ( )
1
ax a
f x x
x
? ?
? ?
?
R?其中a?R?
?Ⅰ?當1
a?時?求曲線( )y f x?在點(2 (2))f?處的切線方程?
?Ⅱ?當0
a?時?求函數(shù)( )f x的單調(diào)區(qū)間與極值?
本小題考查導數(shù)的幾何意義?兩個函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)?利用導數(shù)研究函數(shù)的單
調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識?考查運算能力及分類討論的思想方法?滿分12分?
?Ⅰ?解?當1
a?時?22
( )
1
x
f x
x
?
??4
(2)
5
f??
又2 2
2 2 2 22( 1) 2 2 2 2
( )
( 1) ( 1)
x x x x
f x
x x
? ? ?
?
? ?
? ?
•?6
(2)
25
f
?
? ??
所以?曲線( )
y f x?在點(2 (2))f?處的切線方程為4 6
( 2)
5 25
y x? ? ? ??
即6 2 32 0
x y? ? ??
?Ⅱ?解?2 2
2 2 2 22 ( 1) 2 (2 1) 2( )( 1)
( )
( 1) ( 1)
a x x ax a x a ax
f x
x x
? ? ? ? ? ? ?
?
? ?
? ??
由于0
a??以下分兩種情況討論?
?1?當0
a?時?令( ) 0f x
?
??得到11
x
a
? ??2x a
??當x變化時?( ) ( )f x f x
?
?的變
化情況如下表? x 1
a
? ?
? ?
? ?
? ?
?∞ 1
a 1
a
a
? ?
?
? ?
? ?
? a ( )
a?? ∞ ( )f x
? ..