概率論基礎(chǔ)知識(shí)
第一章 隨機(jī)事件及其概率
一 隨機(jī)事件
§1幾個(gè)概念
1、隨機(jī)實(shí)驗(yàn):滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)；（1）試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且所有可能結(jié)果是已知的；（3）每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是未知的；隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，并常記為E。
   例如：E1：擲一骰子，觀察出現(xiàn)的總數(shù)；E2：上拋硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況；
   E3：觀察某電話交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。
2、隨機(jī)事件：在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機(jī)事件：常記為 A，B，C……
   例如，在E1中，A表示“擲出2點(diǎn)”，B表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。
3、必然事件與不可能事件：每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱為必然事件，記為Ω。每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事情稱為不可能事件，記為Φ。
   例如，在E1中，“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件，而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事件,以后，隨機(jī)事件，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為事件。
4、基本事件：試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱為基本事件。
   例如，在E1中，“擲出1點(diǎn)”，“擲出2點(diǎn)”，……，“擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件。
   由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件，例如，在E1中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。
5、樣本空間：從集合觀點(diǎn)看，稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)，常記為e.
   例如，在E1中，用數(shù)字1，2，……，6表示擲出的點(diǎn)數(shù)，而由它們分別構(gòu)成的單點(diǎn)集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}顯然，任何事件均為某些樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。
    例如， 在E1中“擲出偶數(shù)點(diǎn)”的事件便可表為{2，4，6}。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本空間。記為Ω。
    例如，
    在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}
    在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}
    在E3中，Ω={0，1，2，……}
例1，一條新建鐵路共10個(gè)車站，從它們所有車票中任取一張，觀察取得車票的票種。
     此試驗(yàn)樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為NΩ=P 210=90.（排列：和順序有關(guān)，如北京至天津、天津至北京）
     若觀察的是取得車票的票價(jià)，則該試驗(yàn)樣本空間中所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 (組合)
例2．隨機(jī)地將15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，觀察15名新生分配的情況。此試驗(yàn)的樣本空間所有樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
        第一種方法用組合+乘法原理；第二種方法用排列
§2事件間的關(guān)系與運(yùn)算
   1、包含:“若事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，記為A B或B A。
 例如，在E1中，令A(yù)表示“擲出2點(diǎn)”的事件，即A={2}
B表示“擲出偶數(shù)”的事件，即B={2，4， 6}則

   2、相等：若A B且B A，則稱事件A等于事件B，記為A=B
  例如，從一付52張的撲克牌中任取4張，令A(yù)表示“取得到少有3張紅桃”的事件；B表示“取得至多有一張不是紅桃”的事件。顯然A=B

  3、和：稱事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B的和事件簡(jiǎn)稱為和，記為A B，或A+B
  例如，甲，乙兩人向目標(biāo)射擊，令A(yù)表示“甲擊中目標(biāo)”的事件，B表示“乙擊中目標(biāo)”的事件，則AUB表示“目標(biāo)被擊中”的事件。
  推廣：
有限個(gè)
無窮可列個(gè)
   4、積：稱事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件為A與B的積事件，簡(jiǎn)稱為積，記為A B或AB。
  例如，在E3中，即觀察某電話交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中，令A(yù)={接到偶數(shù)次呼喚}，B={接到奇數(shù)次呼喚}，則A B={接到6的倍數(shù)次呼喚}
推廣：
      任意有限個(gè)
      無窮可列個(gè)
   5、差：稱事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A減B的差事件簡(jiǎn)稱為差，記為A-B。
  例如，測(cè)量晶體管的β參數(shù)值，令A(yù)={測(cè)得β值不超過50}，B=｛測(cè)得β值不超過100｝，則，A-B=φ，B-A=｛測(cè)得β值為50﹤β≤100｝

  6、互不相容：若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=φ，則稱A與B是互不相容的。
  例如，觀察某定義通路口在某時(shí)刻的紅綠燈：若A={紅燈亮}，B={綠燈亮}，則A與B便是互不相容的。

7、對(duì)立：稱事件A不發(fā)生的事件為A的對(duì)立事件，記為 顯然 ，A∩ =φ
例如，從有3個(gè)次品，7個(gè)正品的10個(gè)產(chǎn)品中任取3個(gè)，若令A(yù)={取得的3個(gè)產(chǎn)品中至少有一個(gè)次品}，則 ={取得的3個(gè)產(chǎn)品均為正品}。
 
§3事件的運(yùn)算規(guī)律
1、交換律 A∪B=B∪A； A∩B=B∩A
2、結(jié)合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
3、分配律 A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）
4、對(duì)偶律
  此外，還有一些常用性質(zhì)，如
   A∪ B A，A∪B B（越求和越大）；A∩B A，A∩B B（越求積越?。?。
若A B，則A∪ B=B, A∩ B=A A-B=A-AB= A 等等。
例3，從一批產(chǎn)品中每次取一件進(jìn)行檢驗(yàn)，令A(yù)i={第i次取得合格品},i=1,2,3,試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有兩次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝
解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３ 表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表為
    或
例4，一名射手連續(xù)向某一目標(biāo)射擊三次，令Ａi={第i次射擊擊中目標(biāo)} , i=1,2,3，試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?br>解：
A1A2A3={三次射擊都擊中目標(biāo)}
A3-A2={第三次擊中目標(biāo)但第二次未擊中目標(biāo)}


例5，下圖所示的電路中，以A表示“信號(hào)燈亮”這一事件，以B,C,D分別表示繼電器接點(diǎn)，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，閉合，試寫出事件A,B,C,D之間的關(guān)系。
解，不難看出有如下一些關(guān)系：
 
二 事件的概率
§1概率的定義
所謂事件A的概率是指事件A發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量，記為P（A）。規(guī)定P(A)≥0，P（Ω）=1。
1、古典概型中概率的定義
古典概型：滿足下列兩條件的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型。
（1）所有基本事件是有限個(gè)； （2）各基本事件發(fā)生的可能性相同；
例如：擲一勻稱的骰子，令A(yù)={擲出2點(diǎn)}={2}，B={擲出偶數(shù)總}(cāng)={2，4，6}。此試驗(yàn)樣本空間為
Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，應(yīng)有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）= 。
而P（B）=3P（A）=