利用半正定規(guī)劃解決相位恢復(fù)問題

1.15萬字 38頁 原創(chuàng)作品，通過查重系統(tǒng)


摘 要

這篇論文主要討論一些解決相位恢復(fù)問題的具體方法，簡單地解釋相位恢復(fù)問題，例如將一個信號進行傅里葉變換會得到一些復(fù)數(shù)，但是我們只知道這些復(fù)數(shù)的模而不知道它們的相位，我們需要用這些復(fù)數(shù)的模來恢復(fù)出原來的信號，這個問題就是相位恢復(fù)問題。這類問題經(jīng)常出現(xiàn)在X射線晶體學(xué)，圖像處理等相關(guān)學(xué)科。
我們主要通過學(xué)習(xí)研究E.J.Candes等人的利用半正定規(guī)劃（SDP）解決相位恢復(fù)問題的理論寫出了這篇論文。由于相位恢復(fù)問題是個非凸問題，利用凸松弛的思路，我們把秩約束變成了跡范數(shù)約束，這是因為從矩陣的稀疏性考慮，矩陣的秩和跡都能表示矩陣的稀疏性，不同的是，秩約束相當于向量的0范數(shù)問題而跡范數(shù)約束卻相當于1范數(shù)問題，在一定條件下，這兩個是可以相互轉(zhuǎn)化得到的優(yōu)化結(jié)果是一樣的，但是“0范數(shù)”是個非凸問題是很難去解決的，而“1范數(shù)”問題是個凸規(guī)劃問題是可以較好解決的，所以我們利用跡范數(shù)約束去代替原來的秩約束，從而把非凸問題轉(zhuǎn)化為凸規(guī)劃問題。另外，我們還利用物理裝置來調(diào)制信號收集編碼衍射的圖案的強度，利用半正定規(guī)劃同樣可以解出其原來的信號，其中利用凸松弛的方法解決相位恢復(fù)問題叫做Phaselift。本文還簡要介紹利用交替最小化解決相位恢復(fù)的問題，但交替最小化算法的收斂性是個開放性問題，因為模型本身是非凸問題，所以在很多問題中他的收斂性并不能保證。在相位恢復(fù)問題的應(yīng)用中，這個算法在一定條件下可以理論保證其收斂到全局最優(yōu)點。



關(guān)鍵字：相位恢復(fù)；半正規(guī)劃；交替最小化