一等幾率矢量和對(duì)稱(chēng)破缺


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一 等幾率矢量和對(duì)稱(chēng)破缺
（一）對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量。 坐標(biāo)系O為靜止系，坐標(biāo)系O*相對(duì)O系靜止。從O*點(diǎn)到以O(shè)*點(diǎn)為中心，以定長(zhǎng)r 為半徑的球面A的任意矢量（N=1，2 ，……）假定這無(wú)窮多個(gè)矢量的出現(xiàn)，就其方向來(lái)說(shuō)是等是幾率的，矢量的長(zhǎng)度是相等的，矢量之和，定義這樣的一組矢量 為對(duì)稱(chēng)的等幾率矢。 如果定義的這組矢量為速度矢，當(dāng)O*系相對(duì)O系靜止時(shí)，無(wú)論從O系或O*系來(lái)考察, 這組矢量都是對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量；如果O*系相對(duì)O系以的速度運(yùn)動(dòng)，則O*系里的這組等幾率矢量，在O系考察時(shí),而等于一個(gè)方向與 一致或相反的速度矢量。這時(shí)就說(shuō)O*系里的對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量，在O系里發(fā)生了破缺。 在以靜止系O的原點(diǎn)為中心的庫(kù)侖埸中，一個(gè)電子繞中心旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)軸和角動(dòng)量的方向是等兒率出現(xiàn)的，，是一組對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量。對(duì)某些磁性物質(zhì)，如果引入磁場(chǎng)，則, 這時(shí)對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量發(fā)生了破缺。 純數(shù)學(xué)的線(xiàn)性空間，它的基是一組對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量，或者說(shuō)它的主軸是對(duì)稱(chēng)的等幾率矢軸。如引入某個(gè)參照物，至少是一條直線(xiàn)，或某些物理?xiàng)l件，這樣的線(xiàn)性空間是一個(gè)物理空間。它的基或者主軸，不再是對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量，而賦予確定的方向，物理空間是一個(gè)有確定方向的線(xiàn)性空間，它是對(duì)稱(chēng)的純數(shù)學(xué)空間的一種破缺。 通常定義物理量的對(duì)稱(chēng)性是：如果某一現(xiàn)象或系統(tǒng)在某一變換下不改變，則說(shuō)該現(xiàn)象或系統(tǒng)具有該變換所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱(chēng)性。球函數(shù)是SO(3) 群二階卡塞米爾算符的本征函數(shù)，∵SO( 3 ) 群的二階卡塞米爾算符即角動(dòng)量算符，具有旋轉(zhuǎn)不變性，旋轉(zhuǎn)變換即SO (3) 群變換，∴具有SO(3) 群變換的對(duì)稱(chēng)性。在一個(gè)靜止系O里任意確定一個(gè)軸, 建立起一個(gè)球坐標(biāo)系，用它來(lái)表示出球函數(shù)，在靜止系O里，是一個(gè)確定的函數(shù)，具有確定的圖形。當(dāng)繞O點(diǎn)在空間中方向等兒率改變時(shí)，隨機(jī)出現(xiàn) ，以這一組等兒率軸為Z軸，建立一組球坐標(biāo)系，用它們來(lái)表示出球函數(shù)，得到,……….的各自的圖形。但諸Z軸的出現(xiàn)是一種旋轉(zhuǎn)變換，即SO(3) 群變換，對(duì)SO(3) 群變換是對(duì)稱(chēng)的，,……..是SO(3)群變換不變的二階卡塞米爾算符的同一本征函數(shù)，在靜止系O里考察，諸（N=0，1，2，……）是對(duì)稱(chēng)的。把它們表示成n ，則。這樣表示出來(lái)的n 是一組對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量，具有SO(3) 群變換的不變性。 一個(gè)算符和它的本征函數(shù)，=f。在一個(gè)靜止系O里可以表示為一組對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量，. 假設(shè)存在一個(gè)變換G，它把O系里的這組對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量映射到O*系，得到一組矢量。如果對(duì)G變換不變，則在O*系里，*= ，，仍是一組對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量，物理量具有G變換不變性。如果對(duì)G變換不是不變的，，，在O*系里，，在O*系里不再是對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量。O系里的對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量經(jīng)過(guò)G變換發(fā)生了破缺。前一種情況，即，但，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)破缺。如量子力學(xué)中“自發(fā)對(duì)稱(chēng)破缺”；后一種情況，但，稱(chēng)為非對(duì)稱(chēng)破缺，如相對(duì)運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的速度矢量。 概括地說(shuō)，一個(gè)物理量，或說(shuō)本征矢，如果對(duì)某個(gè)變換是對(duì)稱(chēng)的，則這個(gè)物理量對(duì)應(yīng)的算符對(duì)該變換是不變的，本征矢經(jīng)過(guò)變換映射后仍是一組對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量。如果物理量對(duì)某個(gè)變換不是不對(duì)稱(chēng)的，則本征矢對(duì)應(yīng)的算符對(duì)該變換不是不變的，本征方程添上了一個(gè)與變換有關(guān)的破缺項(xiàng)，或者本征矢經(jīng)過(guò)變換后不再是一個(gè)對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量。物理量的對(duì)稱(chēng)破缺必須和算符及本征方程聯(lián)系起來(lái)，必須考慮到對(duì)稱(chēng)的等幾率矢量的變化, 和空間聯(lián)系起來(lái)分析。 這些論