【標(biāo)題】淺談參數(shù)方程在解析幾何中的應(yīng)用
【作者】沈 杰
【關(guān)鍵詞】參數(shù)方程 解析幾何 函數(shù) 曲線
【指導(dǎo)老師】鄢 麗
【專業(yè)】數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)
【正文】
1 引言
眾所周知?由所給條件求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是解析幾何的基本問題之一?在探求軌跡方程時(shí)?除了
一些比較簡單的曲線外?要直接用 、 間的函數(shù)關(guān)系來表示曲線上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?即建立
曲線的普通方程往往是比較困難的?這時(shí)一般需要借助于參數(shù)建立曲線的參數(shù)方程.
有時(shí)建立和運(yùn)用曲線的普通方程雖不太難?但是在解題時(shí)卻很困難?如果在解題時(shí)選用參數(shù)
方程?通過參數(shù)來聯(lián)系表達(dá)幾個(gè)變量的變化?便把幾個(gè)變量的變化歸結(jié)為參數(shù)的變化?這樣
便能化繁為簡?更有利于問題的解決.
本文主要從理論和應(yīng)用兩方面研究參數(shù)方程.在掌握參數(shù)方程的相關(guān)理論的基礎(chǔ)上,歸納出
運(yùn)用參數(shù)方程解決各類題型的方法.
2 參數(shù)方程的概念
定義2.1 [1] 解析幾何所研究的曲線?通常都可看作是一個(gè)點(diǎn)遵循某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的
軌跡.因而?曲線是運(yùn)動(dòng)規(guī)律的幾何表示.另一方面?在直角坐標(biāo)系里?點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律往往又
可以通過 與 的某個(gè)方程表示出來?方程則是運(yùn)動(dòng)規(guī)律的解析表示.把同一個(gè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的兩
種表示形式——幾何形式與解析形式聯(lián)系起來?就可以在曲線與方程之間建立一種對應(yīng)關(guān)
系.例如?我們曾用 、 的一次方程表示直線?用 、 的二次方程表示圓錐曲線?等等.
但是?有些運(yùn)動(dòng)規(guī)律難于用 、 的方程直接地表示出來.這時(shí)常常采用這樣的辦法?引進(jìn)一
個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助變量?比如說 ?把動(dòng)點(diǎn) 的坐標(biāo)分別表示成 的函數(shù)?
(2.1)
這樣?通過輔助變量 ?就把 、 間接地聯(lián)系起來了?因此?2.1?也可以用來表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)
律.而且?通過它有時(shí)還可以進(jìn)一步求出直接聯(lián)系 、 的方程.形如(2.1)這樣的方程稱為參
數(shù)方程.
定義2.2 [8] 對于曲線 及方程
(2.2)
如果ⅰ?曲線 上任何一點(diǎn) 可由某一 值通過?2.2?式給出?
ⅱ?對于 的每一個(gè)允許值?由?2.2?式確定的 、 為坐標(biāo)的點(diǎn) 都在曲線 上?
我們就稱?2.2?為曲線 的參數(shù)方程? 稱為參變量或參數(shù).而曲線 則稱為方程?2.2?的
圖形.
相對于此?從前學(xué)習(xí)過的曲線方程 稱為普通方程.要注意的是?普通方程與參數(shù)方程都是直
角坐標(biāo)系中的曲線方程.
由上述定義知道?所謂曲線的參數(shù)方程應(yīng)包含兩層意義?
ⅰ?這條曲線上的點(diǎn)都由該方程來確定?
ⅱ?該方程確定的點(diǎn)都在曲線上.
3 參數(shù)的選取以及參數(shù)方程的建立
3.1 選取參數(shù)的一般原理及要求[2]
由曲線參數(shù)方程的定義?不難看出?在確定一條曲線的參數(shù)方程時(shí),一定要選取適當(dāng)?shù)膮?shù).
所謂適當(dāng)?一般無固定標(biāo)準(zhǔn)?大致適合如下要求即可.第一、要使參數(shù)方程與原方程(或所求
軌跡的原形式)的曲線是同一曲線?即不增加又不減少?第二、選取參數(shù) 的一個(gè)函數(shù)為一個(gè)
坐標(biāo)?代人原方程易于求出另一個(gè)坐標(biāo)與參數(shù) 的函數(shù)關(guān)系?且所得參數(shù)方程要簡單?第三、
盡可能使 或 的函數(shù)表達(dá)式是單值的?使參數(shù) 有意義.
將普通方程 化為參數(shù)方程的問題(或求動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題)?歸根結(jié)底是求不定方程 (或動(dòng)點(diǎn)
軌跡方程)的通解問題?由代數(shù)知識?它的通解應(yīng)該含有一個(gè)任意常數(shù)?這個(gè)常數(shù)就是參數(shù).
如果參數(shù)選取的不適當(dāng)?就會(huì)使原曲線減少或增多.
例如求 的參數(shù)方程?若設(shè) 為參數(shù) ?則代入原方程得
所以 (3.1)
雖然方程?3.1?代入原方程是適合的.這表明滿足?3.1?的所有點(diǎn)都在曲線 上.但原方程
中的 取值范圍是一切實(shí)數(shù)? 的取值范圍是一切正實(shí)數(shù).即原方程 表示為一條完整的拋物
線.而?3.1?中由第一式知? ?由第二式知? .這就是說?3.1?只代表原曲線的一部分?
因此?3.1?不是原拋物線的參數(shù)方程.
由此,我們有選取參數(shù)的一般原理?
當(dāng)動(dòng)點(diǎn) 在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)?除點(diǎn)P的坐標(biāo) 外的第三個(gè)變量 都唯一地對應(yīng)著動(dòng)點(diǎn) 的一個(gè)確定
的位置?反之?對于曲線上任意一點(diǎn)都至少存在一個(gè) 與之對應(yīng).
這樣,根據(jù)此原理所選取的參數(shù) 所適合的方程即為所求的曲線的參數(shù)方程.總之?在研究如
何才能選取適當(dāng)?shù)膮?shù)中?具體問題要具體分析?并從中找出一般的規(guī)律性.
3.2 選取參數(shù)的一般方法
(1)已知曲線上動(dòng)點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?建立曲線的參數(shù)方程
ⅰ?若把曲線看成質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡?那么動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是時(shí)間 的函數(shù)?因此可取時(shí)間為參數(shù).
ⅱ?當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的位置隨動(dòng)直線的位置而變化?且動(dòng)直線的斜率為已知時(shí)?可選取其縱截距為參
數(shù).
ⅲ?一般地?對于由轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的軌跡的參數(shù)方程等問題?最好選取其轉(zhuǎn)動(dòng)角為參數(shù).
ⅳ?若動(dòng)點(diǎn)的位置隨某一有向線段的數(shù)值變化?可選取其有向線段的數(shù)值為參數(shù).
(2)曲線的普通方程為 ?令 或 代人普通方程 后能解出 或
則 或
即為所求曲線的參數(shù)方程.
(3)若曲線的普通方程 可以寫成 的形式?則可令 ?代入原方程得 ?從而即為 所求參數(shù)
方程.
例1、求 的參數(shù)方程.
解?因?yàn)?可以寫成 的形式?因而可令 代人原方程得 ?所以 的參數(shù)方程 為
特別地?若曲線的普通方程 .經(jīng)變形后可寫成 的形式?其中 , 為常數(shù), ? 分別為 的一次
函數(shù)?則可令
由此得出? ?
顯然?這就是所求曲線的參數(shù)方程.
例2、把直線方程 化為參數(shù)方程.
解?因?yàn)?可化為 的形式?
則可令
得
所以
為所求曲線的參數(shù)方程.
(4)對于有些普通方程?可以利用三角函數(shù)或雙曲函數(shù)的恒等式把它們化為參數(shù)方程.
例3、求橢圓 的參數(shù)方程.
解?令 代人橢圓的方程得 ?
則有
為所求曲線的參數(shù)方程.
(5)若曲線的普通方程 ?且點(diǎn) 為曲線上一已知點(diǎn)?則可令 即令 為常數(shù) ?代入原方程后?
若能解出 ?從而 即為所求.
例4求圓 的參數(shù)方程. -b..