矩陣特征值和特征向量的求法與應用


摘要：特征值與特征向量是代數(shù)中一個重要的部分，并在理論和學習和實際生活，特別是現(xiàn)代科學技術方面都有很重要的作用.本文主要討論并歸納了特征值與特征向量的性質(zhì)，通過實例展現(xiàn)特征值與特征向量的優(yōu)越性，探討特征值與特征向量及其應用有著非常重要的價值。
正文共分三章來寫.第一章介紹了特征值與特征向量的定義以及性質(zhì)，并且寫出了矩陣的特征值、特征向量之間的關系.第二章介紹了特征值與特征向量的幾種解法：利用特征方程求特征值進而求特征向量、列行互逆變換法、利用矩陣的初等變換求特征值和特征向量.第三章重點介紹了特征值特征向量的應用，如n階矩陣的高次冪的求解以及矩陣特征值反問題的求解等等.本文充分利用特征值與特征向量的特性求解相關問題，這帶有一定的技巧性，但并不難想象，特別是跟其它方法相比，計算顯得非常簡潔，在解決具體問題上具有很大的優(yōu)越性。
當然關于矩陣的特征值和特征向量的內(nèi)容很廣，本文僅就特征向量的性質(zhì)以及一些應用展開研究。

關鍵詞：特征值；特征向量；矩陣；初等變換



Abstract As an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvector and its application.
The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenvector of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigenvector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.
Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with the properties of eigenvector and some application.

Key words: eigenvalue；eigenvector；matrix； elementary transformation



目錄
引 言 3
第一章 特征值和特征向量 4
1.1 特征值和特征向量的定義和性質(zhì) 4
第二章 特征值和特征向量的求解 6
2.1 一般公式法 7
2.2 列行互逆變換法 8
2.3 利用矩陣的初等變換解特征值特征向量 12
第三章 矩陣特征值和特征向量的應用 17
3.1 n階矩陣A能否相似對角化的判定 18
3.2 矩陣相似對角化的應用 19
3.3 n階矩陣的特值和特征向量 20
3.4 用特征值和特征向量反求矩陣A 21
3.5 特征值法求解二次型的相關問題 22
3.6 矩陣的特征值和特征向量在實際生活中的應用 24
總 結 26
致 謝 27
參考文獻 28