傳染病數(shù)學(xué)模型的建立及穩(wěn)定性分析


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關(guān)鍵詞：穩(wěn)定性；軌線；閾值定理

摘要　利用疾病傳播的一般規(guī)律及人口守恒統(tǒng)計(jì)法測(cè)建立起兩室與三室的傳染病模型［1］，再運(yùn)用文獻(xiàn)［2、3］的數(shù)學(xué)方法，重點(diǎn)對(duì)兩室的傳染病模型進(jìn)行定性與穩(wěn)定性分析，從而得出相應(yīng)情況下的生態(tài)意義。　
1　預(yù)備知識(shí)1.1　兩室的模型　把城市人口分為健康人與傳染病人兩個(gè)室(集合)，其人數(shù)分別記作：S(t),I(t)。1.2　三室的模型　把城市人口分為健康人S(t)、傳染病人I(t)及病愈免疫(包括死亡)的人R(t)。　　我們知道疾病傳播一般服從下列法則：　　法則1　在所考慮的時(shí)期內(nèi)，人口總數(shù)保持在固定水平N(即S(t)+I(t)+R(t)=N)。　　法則2　易受傳染者S(t)人數(shù)的變化率正比于傳染病患者I(t)與S(t)人數(shù)的乘積。　　法則3　由I(t)向R(t)轉(zhuǎn)變的速率與I(t)成正比。
2　兩室的模型　　由上述疾病傳播法則，不難得出傳染病的數(shù)學(xué)模型

(1)
且初始狀態(tài)為S(0)=S0>0,I(0)=I0>0其中常數(shù)λ、α稱為傳染率、移除率，其值均大于零。　　令σ=λ/α,1/σ=α/λ稱為相對(duì)移除率，同時(shí)為了討論問(wèn)題的方便，不妨假設(shè)N=1，即總體。　　定理1　(閾值定理)設(shè)S(t),I(t)是初值問(wèn)題(1)的解，如果σS0<1,那么，當(dāng)t→+∞時(shí)，I(t)單調(diào)減少趨于零。如果σS0>1，當(dāng)t→+∞時(shí)，I(t)先增加達(dá)到最大值1-1/σ-1/σln(σS0),此時(shí)S=1/σ,而后單調(diào)減少趨于零，S(t)是一個(gè)單調(diào)減少函數(shù)，并且其極限
，是方程1-S+(ln(S/S0))/σ=0在(0，1/σ)內(nèi)的根(見(jiàn)圖1)。